Question

a=1是直线（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也非必要条件

Answer 1

分析：利用两条直线垂直与斜率的关系即可判断出．

解答：解：①当a=1时，两条直线（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0分别化为：
5x-3y+8=0，3x+5y-7=0，
可得两条直线的斜率分别为：k1=

5

3

，k2=-

3

5

，则k₁•k₂=-1．
故两条直线相互垂直．
因此a=1是直线（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直的充分条件．
②若两条直线（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直，
当1-4a=0即a=

1

4

时，两条直线分别化为11x+32=0，3x-17y+28=0，此时两条直线不垂直；
同理当a=-4时，两条直线不垂直；
当a≠

1

4

且a≠-4时，两条直线的斜率分别为-

3a+2

1-4a

，-

5a-2

a+4

．
由-

3a+2

1-4a

×(-

5a-2

a+4

)=-1，
解得a=0或1．
a=1是直线（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直的不必要条件．
综上可知：a=1是直线（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和（5a-2）x+（a+4）y-7=0互相垂直的充分不必要条件．
故选：A．

点评：本题考查了两条直线垂直与斜率的关系、充分必要条件，属于中档题．