Question

9．对定义域分别是D_f，D_g的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）•g（x）}&{当x∈{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\\{f（x）}&{当x∈{D}_{f}且x∉{D}_{g}}\\{g（x）}&{当x∉{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\end{array}\right.$．
（1）若函数f（x）=-2x+3，x≥1，g（x）=x-2，x∈R，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的最大值；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos2x，并予以证明．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，对x进行分类讨论：当x≥1时，h（x）=f（x）g（x）；当x＜1时，h（x）=g（x）=x-2．从而得出h（x）的解析式；
（2）分段函数的值域分段求，所以分别求出x≥1和x＜1时的值域，最后取并集即得函数h（x）的值域，则最大值可求．
（3）令 $f（x）=sinx+cosx，α=\frac{π}{2}$，或令 $f（x）=1+\sqrt{2}sinx，α=π$，验证可得．

解答 解：（1）由于函数f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，根据题意得：
当x≥1时，h（x）=f（x）g（x）=（-2x+3）（x-2）=-2x²+7x-6；
当x＜1时，h（x）=g（x）=x-2．
所以h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+7x-6，}&{x≥1}\\{x-2，}&{x＜1}\end{array}\right.$．
（2）当x≥1时，h（x）=-2x²+7x-6=-2（x-$\frac{7}{4}$）²+$\frac{1}{8}$，
因此，当x=$\frac{7}{4}$时，h（x）最大，h（x）的最大值为$\frac{1}{8}$．
若x＜1时，h（x）=x-2＜1-2=-1．
∴函数h（x）的最大值为$\frac{1}{8}$．
（3）令 $f（x）=sinx+cosx，α=\frac{π}{2}$
则$g（x）=f（x+\frac{π}{2}）=sin（x+\frac{π}{2}）+cos（x+\frac{π}{2}）=cosx-sinx$
∴$h（x）=f（x）f（x+\frac{π}{2}）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos2x$．
另解：令 $f（x）=1+\sqrt{2}sinx，α=π$，
则 $g（x）=f（x+π）=1+\sqrt{2}sin（x+π）=1-\sqrt{2}sinx$
于是$h（x）=f（x）f（x+π）=（1+\sqrt{2}sinx）（1-\sqrt{2}sinx）=cos2x$．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，根据函数的新定义，求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．