Question

【题目】已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）构造直线所在平面，由面面平行推证线面平行；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值.

（1）过点交于点，连接，如下图所示：

因为平面平面，且交线为,

又四边形为正方形，故可得，

故可得平面，又平面，

故可得.

在三角形中，因为为中点，，

故可得//，为中点；

又因为四边形为等腰梯形，是的中点，

故可得//；

又，

且平面，平面,

故面面，

又因为平面，

故面.即证.

（2）连接，，作交于点，

由（1）可知平面，又因为//，故可得平面，

则；

又因为//，，故可得

即，，两两垂直，

则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，

，，，

，，

设面的法向量为，则，，

则，

可取，

设平面的法向量为，则，，

则，

可取，

可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

.