Question

【题目】在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点的轨迹为.给出下面四个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③点在曲线上；④在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于.其中所有正确结论的序号是______.

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．

动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，所以，

即.若，则，即，故，

以为中心的双曲线的一支；若，则，即，故或，

所以函数的图象如图所示

所以曲线C关于直线对称，②正确；又，所以点在曲线上，

③正确；在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于，故④正确.

故答案为：②③④.