Question

1．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin²x，x∈R，将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，把所得到的图象再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求：
（Ⅰ）函数g（x）的解析式和单调递增区间；
（Ⅱ）函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式；再利用余弦函数的单调性求得g（x）的增区间．
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]，利用余弦函数的定义域和值域求得g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）把函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+1-2sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），x∈R的图象上各点的纵坐标保持不变，
横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，可得y=2sin（4x+$\frac{π}{6}$），x∈R的图象；
再把所得到的图象再向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin[4（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（4x+$\frac{5π}{6}$）=2cos（4x+$\frac{π}{3}$）的图象．
即g（x）=2cos（4x+$\frac{π}{3}$）．
令2kπ-π≤4x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得g（x）的增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{6}$，-$\frac{π}{24}$]，可得4x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，故当4x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，g（x）=2cos（4x+$\frac{π}{3}$）取得最小值为1；
当4x+$\frac{π}{3}$=0时，g（x）=2cos（4x+$\frac{π}{3}$）取得最大值为2．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，单调性，属于中档题．