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已知函数f(x)=
1
2
sin2xsinθ+cos2xcosθ-
1
2
sin(
π
2
+θ)(0<θ<π)
,其图象经过点(
π
6
1
2

(1)求f(θ)的值
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)=k在[0,
π
4
]
上只有唯一解,求实数k的取值范围.
分析:(1)直接对原函数化简整理,再把点(
π
6
1
2
)的坐标代入求出θ即可求f(θ)的值;
(2)先根据图象的平移变换规律求出函数y=g(x)的解析式,再根据x的范围画出图象,结合图象即可求出实数k的取值范围.
解答:解:(1)因为f(x)=
1
2
sin2xsinθ+
1+cos2x
2
cosθ-
1
2
cosθ=
1
2
(sin2xsinθ+cos2xcosθ)

=
1
2
cos(2x-θ)
…(3分)
f(
π
6
)=
1
2
cos(
π
3
-θ)=1

π
3
-θ=2kπ
又θ∈(0,π),
θ=
π
3
…(5分)
f(θ)=
1
2
cosθ=
1
4
…(6分)
(2)因为函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
,纵坐标不变,
得到函数y=g(x)=
1
2
cos(4x-
π
3
)…(8分)
x∈[0,
π
4
]
时,4x-
π
3
∈[-
π
3
3
]

作出y=
1
2
cost
t∈[-
π
3
3
]
的图象,精英家教网
结合图形知k=
1
2
或-
1
4
k<
1
4
.…(12分)
点评:本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数式的整理化简.在整理三角函数式时,要牢记公式,并会对公式熟练使用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)、已知函数f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函数f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的图象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一个函数g(x)的图象,求g(x)的解析式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同时满足条件:
①?x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函数在区间(a,a+
1
2
)
上存在极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
与f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数f(x)在[0,1]上是以3为上界的有界函数,求m的取值范围.

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