Question

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f（9）=________．

Answer 1

0
分析：由题设知f（9）=f（3+6）=f（3）+f（3）=2f（3）．f（3）=f（-3）=f（-9+6）=f（-9）+f（3）=f（9）+f（3）=3f（3），所以f（3）=0，故f（9）=2f（3）=0．
解答：∵y=f（x）是R上的偶函数满足，
对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，
∴f（9）=f（3+6）=f（3）+f（3）=2f（3）．
∵f（3）=f（-3）=f（-9+6）=f（-9）+f（3）=f（9）+f（3）=3f（3），
∴f（3）=0，
∴f（9）=2f（3）=0．
故答案为：0．
点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性和f（x+6）=f（x）+f（3）的灵活运用，合理地进行等价转化．