Question

已知函数f(x)＝.
(1)确定y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)若a>0，函数h(x)＝xf(x)－x－ax²在(0,2)上有极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）在(0，e]上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减．（2）a>－（3）(0，＋∞)

(1)对已知函数f(x)求导得，f′(x)＝.
由1－ln x＝0，得x＝e.
∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，e]上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减．
(2)由h(x)＝xf(x)－x－ax²，
可得h(x)＝ln x－x－ax²，
则h′(x)＝－1－2ax＝.
h(x)＝xf(x)－x－ax²在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x)＝－2ax²－x＋1在(0,2)上有零点，
∴φ(0)·φ(2)<0，解得a>－.
综上所述，a的取值范围是(0，＋∞)．