Question

已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x²＋ax－3.
(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．

Answer 1

（1）f(x)_min＝（2）a≤4（3）见解析

(1)解：f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)_min＝f＝－；
③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)_min＝f(t)＝tlnt，
所以f(x)_min＝.
(2)解：由题意，要使2xlnx≥－x²＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．
设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－.
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，
即[h(x)]_min＝h(1)＝4，所以a≤4.
(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．
由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，
当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，
易得[m(x)]_max＝m(1)＝－，
当且仅当x＝1时取得，
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立