Question

等比数列{a_n}中，a₂=4，a₃•a₄=128．
（Ⅰ）求数列{a_n}中的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

n

a2n-1

，求数列{b_n}的前n项的S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=

n

a2n-1

=

n

22n-1

．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₂=4，a₃•a₄=128．
∴

a1q=4 a1q2•a1q3=128

，解得

a1=2 q=2

，
∴an=2n．
（II）b_n=

n

a2n-1

=

n

22n-1

．
∴数列{b_n}的前n项的S_n=

1

2

+

2

23

+

3

25

+…+

n

22n-1

，

1

4

Sn=

1

23

+

2

25

+…+

n-1

22n-1

+

n

22n+1

，
∴

3

4

Sn=

1

2

+

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

-

n

22n+1

=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

22n+1

=

2

3

-

2

3×4n

-

n

22n-1

，
∴S_n=

8

9

-

16+12n

9•22n+1

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．