Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n=n²，数列{b_n}满足b_n=2^a_n．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，由此能求出an=2n-1(n∈N*)．bn=22n-1．
（2）由题意知Cn=(2n-1)•22n-1Tn=1×21+3×23+5×25+…+(2n-1)•22n-1，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，显然n=1时满足上式，
∴an=2n-1(n∈N*)．
∵数列{b_n}满足b_n=2^an，
∴bn=22n-1．…（4分）
（2）由题意知，Cn=(2n-1)•22n-1，
Tn=1×21+3×23+5×25+…+(2n-1)•22n-1，
两边同乘以4得4Tn=1×23+3×25+5×27+…+(2n-1)•22n+1，
两式相减得：
-3Tn=

4×(1-4n)

1-4

-(2n-1)•22n-1-2=

(10-12n)×4n

3

-

10

3

，
所以Tn=

(12n-10)×4n+10

9

．…（10分）

点评：本题考查考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．