Question

18．已知M是直线l：x=-1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N
（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程
（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），直线P′H⊥A′B，垂足为H，是否存在一个定点Q，使得|QH|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F（1，0），点N的轨迹C的方程y²=4x；
（Ⅱ）设A（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），则A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），直线AB的方程y=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$（x-2），代入抛物线方程，求得B的坐标，A′B的方程为y+a=-$\frac{4a}{8+{a}^{2}}$（x-$\frac{{a}^{2}}{4}$），则令y=0，则x=-2，直线A′B与x轴交于定点T（-2，0），即可求得存在一个定点T（-2，0），使得T，A′，B三点共线，△PHT为直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，丨OH丨=$\frac{1}{2}$丨TP丨=2，即存在点O（0，0），使得丨OH丨为定值2，则O即为点Q（0，0）．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：丨NM丨=丨NF丨，即曲线C为抛物线，焦点坐标为F（1，0），
准线方程为l：x=-1，
∴点N的轨迹C的方程y²=4x；

（Ⅱ）设A（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），则A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），
直线AP的斜率k_AP=$\frac{a}{\frac{{a}^{2}}{4}-2}$=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$，
直线AB的方程y=$\frac{4a}{{a}^{2}-8}$（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=\frac{4a}{{a}^{2}-8}（x-2）}\end{array}\right.$，整理得：ay²-（a²-8）y-8a=0，
设B（x₂，y₂），则ay₂=-8，则y₂=-$\frac{8}{a}$，x₂=$\frac{16}{{a}^{2}}$，
则B（$\frac{16}{{a}^{2}}$，-$\frac{8}{a}$），
又A′（$\frac{{a}^{2}}{4}$，-a），
∴A′B的方程为y+a=-$\frac{4a}{8+{a}^{2}}$（x-$\frac{{a}^{2}}{4}$），
令y=0，则x=-2，
直线A′B与x轴交于定点T（-2，0），
△PHT为直角三角形，并且丨OP丨=丨OT丨，
∴丨OH丨=$\frac{1}{2}$丨TP丨=2，
即存在点O（0，0），使得丨OH丨为定值2，则O即为点Q（0，0）．

点评 本题考查抛物线的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率及方程，考查计算能力，属于中档题．