Question

如图所示，已知，PA垂直圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点．
（Ⅰ） 求证：平面PBC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若BC=1，AB=

2

，PC=2，求二面角P-BC-A的平面角大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件得BC⊥PA，AC⊥BC，从而BC⊥平面PAC，由此能证明平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAC，知∠ACP是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的平面角大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA垂直圆O所在平面，BC?直圆O所在平面，
∴BC⊥PA，
∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，
∴AC⊥BC，PC⊥BC，
∴∠ACP是二面角P-BC-A的平面角，
∵BC=1，AB=

2

，PC=2，AB是圆O的直径，
∴AC=

AB2-BC2

=

2-1

=1，
∵PA垂直圆O所在平面，∴PA⊥AC，
∴cos∠ACP=

AC

PC

=

1

2

，
∴∠ACP=60°，
∴二面角P-BC-A的平面角大小为60°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的平面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．