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    （2014•南昌三模）若关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则实数a的取值范围为（ ）

    A.（0，1） B.（﹣1，0） C.（﹣∞，﹣1） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）

     

    D

    【解析】

    试题分析：依题意，关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集?a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|，可求其最大值，从而可解关于a的不等式即可．

    【解析】
    ∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，

    ∴a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，

    构造函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，

    则a2+a+1＞f（x）max，

    ∵f（x）max=1，

    ∴a2+a+1＞1，

    ∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜﹣1．

    ∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）

    故选D．

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