Question

【题目】如图三棱柱中，侧面为菱形， ．

（1）证明： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】试题分析：（1）由四边形是菱形可以得到，结合有平面，因此，根据是的中点得到．（2）由题设条件可证明，从而两两相互垂直，设为单位长，则建立如图所示空间直角坐标系，通过计算半平面的法向量的夹角来计算二面角的余弦值．

解析：（1）连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为及的中点，又， ，所以平面．由于平面，故．又，故 ．

（2）因为，且为的中点，所以．又因为，所以，故，从而两两相互垂直， 为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系．

因为，所以为等边三角形，又，则， ． ， ，设是平面的法向量，则，即，所以可取，设是平面的法向量，则，同理可取， ，所以二面角的余弦值为．