Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于、两点.

（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析：（1）设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可，

（2）把（1）中题设和结论变换位置然后设出A，B两点的坐标根据向量运算求证即可．

试题解析：

证明：（1）设过点的直线交抛物线于点，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，

直线与抛物线相交于点、，∴

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中

由得，则

又∵， ，∴

综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题.

（2）逆命题是：设直线交抛物线于、两点，

如果，那么直线过点，

该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点， .此时

直线的方程为，而不在直线上.