Question

【题目】若函数f（x）=a（x﹣2）ex+lnx+ 在（0，2）上存在两个极值点，则a的取值范围为（ ）
A.（﹣∞，﹣ ）
B.（﹣ ， ）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，﹣ ）
D.（﹣∞，﹣ ）∪（﹣﹣ ，﹣ ）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函数f（x）=a（x﹣2）ex+lnx+ 在（0，2）上存在两个极值点， 等价于f′（x）=a（x﹣1）ex+ ﹣ 在（0，2）上有两个零点，
令f′（x）=0，则a（x﹣1）ex+ =0，
即（x﹣1）（aex+ ）=0，
∴x﹣1=0或aex+ =0，
∴x=1满足条件，且aex+ =0（其中x≠1且x∈（0，2））；
∴a=﹣ ，其中x∈（0，1）∪（1，2）；
设t（x）=exx2 ， 其中x∈（0，1）∪（1，2）；
则t′（x）=（x2+2x）ex＞0，
∴函数t（x）是单调增函数，
∴t（x）∈（0，e）∪（e，4e2），
∴a∈（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，﹣ ）．
故选：D．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．