Question

【题目】已知椭圆E： （a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为 ，过点M（m，0）（m＞ ）做斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A，C两点，点P（ ，0），且 为定值．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点M且垂直于l的直线与椭圆E交于B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴F1（1，0），∴c=1，又 ，a2=b2+c2，

解得c=1=b，a2=2．

∴椭圆E的方程为： +y2=1

（2）

解：设直线l的方程为：ty+m=x，A（x1，y1），C（x2，y2）．

联立 ，化为：（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0．

△＞0，∴y1+y2= ，y1y2= ．

= +y1y2= +y1y2

= （y1+y2）+（t2+1）y1y2+

= +（t2+1） + = 为定值．

∴ = ，化为：3m2﹣5m+2=0， ，解得m=1．

∴M（1，0）．

∴y1+y2= ，y1y2= ．

∴|AC|= = = ，

把 代换t可得：|BD|= ．

∴S四边形ABCD= |AC||BD|= × × = ，

令t2+1=k＞1，则f（k）= = = = ≥ ，

当 = ，即k=2，t=±1时取等号．

∴四边形ABCD面积的最小值为

【解析】（1）抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），可得c=1，又 ，a2=b2+c2 ， 联立解出即可得出．（2）设直线l的方程为：ty+m=x，A（x1 ， y1），C（x2 ， y2）．与椭圆方程联立化为：（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0．把根与系数的关系代入 = +y1y2= （y1+y2）+（t2+1）y1y2+ = 为定值．可得 = ，解得m=1．可得|AC|= = ，把 代换t可得：|BD|= ．利用S四边形ABCD= |AC||BD|与二次函数的单调性即可得出．