Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．

（1）求椭圆C的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明 为定值；
②求直线AB的斜率的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2 ．可得a=2，c= ，b= ，

可得椭圆C的方程： ；

（2）

解：过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴于点N，交C于点A，P（P在第一象限），设N（﹣t，0）t＞0，M是线段PN的中点，则P（t，2m），过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，Q（t，﹣2m），

①证明：设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，

k= = ，k′= =﹣ ，

= =﹣3．为定值；

②由题意可得 ，m2=4﹣ t2，QM的方程为：y=﹣3kx+m，

PN的方程为：y=kx+m，

联立 ，可得：x2+2（kx+m）2=4，

即：（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣4=0

可得xB= ，yB= +m，

同理解得xA= ，

yA= ，

xB﹣xA= ﹣ = ，

yB﹣yA= +m﹣（ ）= ，

kAB= = = ，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，

所以6k+ ，当且仅当k= 时取等号．

此时 ，即m= ，符号题意．

所以，直线AB的斜率的最小值为： ．

【解析】（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；（2）①设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果②求出直线PM，QM的方程，然后求解B，A坐标，利用AB的斜率求解最小值．；本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．