Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形， ， ， 底面， ， ， 是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在点建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值为建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.

试题解析：（Ⅰ） 平面平面

因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）如图，

以点为原点， 分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则

取，则为面法向量．

设为面的法向量，则，

即，取，则

依题意，则．于是．

设直线与平面所成角为，则

即直线与平面所成角的正弦值为．