【题目】已知动圆与圆
:
相切,且与圆
:
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
.设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行线交曲线
于
,
两个不同的点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)试探究和
的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(Ⅲ)记的面积为
,
的面积为
,令
,求
的最大值.
【答案】(1)圆心的轨迹
:
;
(2)和
的比值为一个常数,这个常数为
;
(3)当时,
取最大值
.
【解析】试题分析:(1)根据两圆相切得圆心距与半径之间关系: ,消去半径得
,符合椭圆定义,由定义可得轨迹方程(2)探究问题,实质是计算问题,即利用坐标求
和
的比值:根据直线方程与椭圆方程联立方程组,利用两点间距离公式及韦达定理、弦长公式可得
和
的表达式,两式相比即得比值
(3)因为
的面积
的面积,所以
,利用原点到直线距离得三角形的高,而底为弦长MN(2中已求),可得面积表达式,为一个分式函数,结合变量分离法(整体代换)、基本不等式求最值
试题解析:解:(1)设圆心的坐标为
,半径为
,
由于动圆一圆
相切,且与圆
相内切,所以动圆
与圆
只能内切
∴
∴圆心的轨迹为以
为焦点的椭圆,其中
,
∴
故圆心的轨迹
.
(2)设,直线
,则直线
,
由可得:
,∴
,
∴
由可得:
,
∴,
∴
.
∴
∴和
的比值为一个常数,这个常数为
.
(3)∵,∴
的面积
的面积,∴
,
∵到直线
的距离
,
∴.1
令,则
,
,
∵(当且仅当
,即
,亦即
时取等号)
∴当时,
取最大值
.1
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA= acosB. (Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=3,sinC=2sinA,求△ABC的面积.
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【题目】如图,四边形是梯形.四边形
是矩形.且平面
平面
,
,
,
,
是线段
上的动点.
(Ⅰ)试确定点的位置,使
平面
,并说明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
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【题目】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积= (弦×矢+矢2).弧田,由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为
π,弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为 .
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)﹣b(ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是 ,若将f(x)的图象先向右平移
个单位,再向上平移
个单位,所得函数g(x)为奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的对称轴及单调区间;
(3)若对任意x∈[0, ],f2(x)﹣(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,四边形
是直角梯形,
,
,
底面
,
,
,
是
的中点.
(1)求证:平面平面
;
(2)若二面角的余弦值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】为了了解某地高一学生的体能状况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形的面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
(2)若次数在110以上为达标,试估计全体高一学生的达标率为多少?
(3)通过该统计图,可以估计该地学生跳绳次数的众数是 , 中位数是 .
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