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    已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12.

    （Ⅰ）求的解析式；

    （Ⅱ）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的集合；若不存在，说明理由.

     

    【答案】

    （I）

    （II）存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.

    【解析】(I)是二次函数，且的解集是可设

    因为f(x)的对称轴为,所以可确定在区间上的最大值是据此可得到关于a的方程，从而得到f(x)的解析式．

    (II) 方程等价于方程设

    然后再根据导数研究h(x)的单调性和极值，最值画出其草图从图上分析解决即可．

    （I）是二次函数，且的解集是

    可设在区间上的最大值是

    由已知，得（4分）

    （II）方程等价于方程

    设则

    当时，是减函数；

    当时，是增函数.（8分）

    方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根.  （11分）

    所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.（13分）

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。

        （I）求的解析式；

        （II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

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    科目：高中数学 来源：2012届宁夏银川一中高三上学期第二次月考理科数学试卷 题型：解答题

    （本小题满分12分）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12.
    （1）求的解析式；
    （2）是否存在整数使得方程在区间内有且只有两个不等的实
    数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年山东省烟台市高三上学期期末考试文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知是二次函数，不等式的解集是，且在点处的切线与直线平行．

    (1)求的解析式；

    (2)是否存在t∈N*，使得方程在区间内有两个不等的实数根？

    若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年宁夏高三上学期第二次月考理科数学试卷 题型：解答题

    （本小题满分12分）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12.

    （1）求的解析式；

    （2）是否存在整数使得方程在区间内有且只有两个不等的实

     

    数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：湖南省长沙市2010-2011学年高三年级月考（一）数学试题（理科） 题型：解答题

     

    （本小题满分13分）

           已知是二次函数，不等式的解集是（0，5），且在区间[-1，4]上的最大值是12。

       （1）求的解析式；

       （2）是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

     

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