Question

已知函数，，其中的函数图象在点处的切线平行于轴．

（1）确定与的关系； （2）若，试讨论函数的单调性；

（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）证明：.

 

Answer 1

（1）；（2）当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．（3）详见解析。

【解析】

试题分析：（1）由导数的几何意义可知，即可得与的关系。（2）先求导数，及其零点，判断导数符号，即可得原函数增减变化，注意分类讨论。（3）由可得。然后分别证明不等式的左右两侧，两侧不等式的证明均需构造函数，再利用函数的单调性证明。

试题解析：【解析】
（1）依题意得，则

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

∴ 4分

（2）由（1）得

∵函数的定义域为

①当时，

由得，由得，

即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

②当时，令得或，

若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；

若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减；

若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增.

综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

9分

（3）依题意得，证，即证

因，即证. 令（），即证（）

令（）,则

∴在（1，+）上单调递增，

∴=0，即（）①

再令m(t)=lnt t+1,= 1<0, m(t)在（1，+∞）递减，

∴m(t)<m(1)=0，即lnt<t 1 ②

综合①②得（），即． 14分

考点：1导数及导数的几何意义；2用导数分析函数的单调性；3用单调性证明不等式。