Question

【题目】已知椭圆过点，离心率为，为坐标原点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上的三点，与交于点，且，当的中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积是常数为，理由见解析.

【解析】

（1）由题a=再由离心率，求得c,再由，即可求得方程；（2）若点是椭圆的右顶点，求得的面积为，若点不是椭圆的左、右顶点，则设直线的方程为：，与椭圆联立，由韦达定理得的坐标，弦长公式，点到线的距离公式，进而求出的面积为常数

（1）由已知易得，

∴，

故椭圆的标准方程为：.

（2）①若点是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，

∵，在线段上，

∴，此时轴，求得，

∴的面积等于.

②若点不是椭圆的左、右顶点，则设直线的方程为：，，，

由得，则，，

∴的中点的坐标为，

∴点的坐标为，将其代入椭圆方程，化简得．

∴ ．

点到直线的距离，

∴的面积．

综上可知，的面积为常数．