Question

15．一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为合格．
（1）现有某位考生会答8题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？
（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会几道题？

Answer 1

分析 （1）这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，由此利用对立事件概率计算公式能求出这位考生及格的概率．
（2）一位考生及格的概率小于50%，则他不及格的概率大于$\frac{1}{2}$，设他最多会n道题，则$\frac{{C}_{8-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$$＞\frac{1}{2}$，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，答对其中1题即为合格．
某位考生会答8题中的5道题，
∴这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，
∴这位考生及格的概率p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=1-$\frac{3}{28}$=$\frac{25}{28}$．
（2）一位考生及格的概率小于50%，
则他不及格的概率大于$\frac{1}{2}$，
设他最多会n道题，n≤8，
则$\frac{{C}_{8-n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$$＞\frac{1}{2}$，
则${C}_{8-n}^{2}$=$\frac{（8-n）（7-n）}{2}$＞14，即n²-15n+28＞0，
解得n＜$\frac{15-\sqrt{113}}{2}$或n＞$\frac{15+\sqrt{113}}{2}$（舍），
∵n∈Z^*，∴n的最大值为2．
∴他最多只会2道题．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．