Question

已知圆O：x²+y²=r₁²（r₁＞0）与圆C：（x-a）²+（y-b）²=r₂²（r₂＞0）内切，且两圆的圆心关于直线l：x-y+

2

=0对称．直线l与圆O相交于A、B两点，点M在圆O上，且满足

OM

=

OA

+

OB

（1）求圆O的半径r₁及圆C的圆心坐标；
（2）求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）由直线l方程与圆O联解，得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系算出AB的中点M的坐标，根据点M在圆O上算出r₁=2，即可得到圆O的半径及圆心坐标；
（2）由两圆内切建立关系式算出r₂=4，再由点到直线的距离公式给垂径定理，即可算出直线l被圆C截得的弦长．

解答：解：（1）由

x-y+ 2 =0 x2+y2= r 2 1

消去y，得2x2+2

2

x+2-

r

2 1

=0
由△=(2

2

)2-4×2×(2-

r

2 1

)≥0，解得r₁≥1（*）…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
则x0=x1+x2=-

2

，y0=y1+y2=x1+x2+2

2

=

2

又∵M(-

2

，

2

)在圆O上，
∴

r

2 1

=(-

2

)2+(

2

)2=4满足（*）式
所以圆O的半径r₁=2，圆心C的坐标为（-

2

，

2

）…（6分）
（2）∵圆O：x²+y²=4与圆C：(x+

2

)2+(y-

2

)2=

r

2 2

(r2＞0)内切，
∴|r2-2|=|OC|=

(- 2 )2+( 2 )2

=2，解得r₂=0（舍去）或r₂=4…（12分）
∵圆心C到直线l的距离为d=

|- 2 - 2 + 2 |

2

=1
∴直线l被圆C截得的弦长为2

r 2 2 -d2

=2

16-1

=2

15

…（14分）

点评：本题给出两圆相内切，求圆心坐标和圆的半径并求直线l被圆截得的弦长．着重考查了圆与圆的位置关系、圆的方程和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．