Question

已知动圆的圆心C在抛物线x²=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为______．

Answer 1

由题意，设C（x₀，y₀），则⊙C的方程（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²．
把y=0和x₀²=2py₀代入整理得x²-2x₀x+x₀²+p²=0．
设M、N的横坐标分别为x₁、x₂，则x₁=x₀-p，x₂=x₀+p．
∴|MN|=|x₁-x₂|=2p．
∵|CM|=|CN|=

(x0-x1)2+y02

=

p2+y02

∴cos∠MCN=

-2p2+2y02

2p2+2y02

=1-

2p2

p2+y02

∴-1≤cos∠MCN＜1，
∵0＜∠MCN＜π
∴0＜sin∠MCN≤1，
∴sin∠MCN的最大值为1
故答案为：1