Question

已知动圆的圆心C在抛物线x²=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先确定MN为定长，再利用余弦定理，即可确定sin∠MCN的最大值．
解答：解：由题意，设C（x，y），则⊙C的方程（x-x）²+（y-y）²=x²+（y-p）²．
把y=0和x²=2py代入整理得x²-2xx+x²+p²=0．
设M、N的横坐标分别为x₁、x₂，则x₁=x-p，x₂=x+p．
∴|MN|=|x₁-x₂|=2p．
∵|CM|=|CN|==
∴=1-
∴-1≤cos∠MCN＜1，
∵0＜∠MCN＜π
∴0＜sin∠MCN≤1，
∴sin∠MCN的最大值为1
故答案为：1
点评：本题考查圆与抛物线的综合，考查余弦定理的运用，确定MN为定长是关键．