Question

(本小题满分12分)

四面体中，分别是的中点，

(1)求证：平面;

(2)求异面直线与所成角的余弦值；

(3)求点到平面的距离。

Answer 1

解：方法１：（1）证明：连接,已知为中点，

，

故,

所以,,在中，

,所以,则      

,又,故平面.   （4分）

(2)取中点,连接,又为中点，则∥,∥,

所以直线与所成的锐角就是异面直线与所成角，在中，,又为的斜边上的中线，故,所以,即异面直线与所成角的余弦值为。          （ 8分）

（3）（体积法）设点到平面的距离为，因为，

即有,又,设，则由余弦定理有

，即有，为等腰三角形，而，等腰三角形底边上的高为，故的面积为。

则而,故，点到平面的距离为。     （12分）

方法２：（１）同方法１．

　　　（２）由（１）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，则

中点为，所以,

所以

即异面直线与所成角的余弦值为.            （8分）

（３）设平面的法向量为，又

则所以，令得，即，

又，则点到平面的距离.               （12分）

(其他解法酌情计分)