Question

已知f(2x+1)=

8x+7

4x2+4x+2

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：先利用配凑法求出函数的解析式，然后求出导函数，求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，从而求出函数的值域．

解答：解：∵f(2x+1)=

8x+7

4x2+4x+2

，
∴f（2x+1）=

4(2x+1)+3

(2x+1)2+1

即f（x）=

4x+3

x2+1

令f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

=0
解得x=-2或

1

2

当x∈（-∞，-2）时f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＜0
当x∈（-2，

1

2

）时f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＞0
x∈（

1

2

，+∞）时f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＜0
∴当x=-2时函数取最小值-1，当x=

1

2

时函数有最大值4．
故函数的值域为[-1，4]

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的值域，关于函数的值域的求解最近几年有所弱化，本题属于基础题．