Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（3）若E是侧棱PC上的动点，不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）更加所给的三视图得到该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，根据四棱锥的体积公式做出几何体的体积．
（2）根据见到中点找中点的方法，连接AC交BD于F，则F为AC的中点，根据三角形的中位线与底边平行，得到线与面的平行关系，再写出不属于这个平面，得到线与面平行．
（3）先写出结论，再证明这个结论，要证不论点E在何位置，都有BD⊥AE，只要证明BD⊥平面PAC，且不论点E在何位置，都有AE?平面PAC，得到结论．

解答：解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PC=

1

3

×1×2=

2

3

（2）证明：连接AC交BD于F，则F为AC的中点，
∵E为PC的中点，
∴PA∥EF，
又PA?平面BDE内，
∴PA∥平面BDE
（3）不论点E在何位置，都有BD⊥AE
证明：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE

点评：本题是一个典型的立体几何的题目，从三视图开始，考查的知识点比较全面，注意最后一问的解答格式，需要先得到结论，再证明结论，两个环节不能缺少．