Question

已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若

AP

=

AB

+λ•

AC

(λ∈R)，
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，求λ的值；
（2）若点P在第三象限内，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）由于点P在第一、三象限的角平分线上，可设P（a，a）．利用向量的坐标运算

AP

=

AB

+λ•

AC

(λ∈R)，和向量相等即可得出．
（2）设P（x，y），利用向量的坐标运算和向量相等及点P在第三象限，即可得出．

解答： 解：（1）∵点P在第一、三象限的角平分线上，∴可设P（a，a）．

AB

=（5，4）-（2，3）=（3，1），

AC

=（7，10）-（2，3）=（5，7），

AP

=（a，a）-（2，3）=（a-2，a-3）．
∵

AP

=

AB

+λ•

AC

(λ∈R)，
∴（a-2，a-3）=（3，1）+λ（5，7），
∴

a-2=3+5λ a-3=1+7λ

，解得λ=

1

2

．
（2）设P（x，y），∴

AP

=（x，y）-（2，3）=（x-2，y-3）．
∵

AP

=

AB

+λ•

AC

(λ∈R)，
∴（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7）=（3+5λ，1+7λ），
∴

x-2=3+5λ y-3=1+7λ

，化为

x=5+5λ y=4+7λ

，
∵点P在第三象限，∴

x=5+5λ＜0 y=4+7λ＜0

，
解得λ＜-1．
∴λ的取值范围是（-∞，-1）．

点评：本题考查了向量的线性运算、向量基本定理、点在象限的特点，属于基础题．