Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax（a∈R），函数g（x）=f′（x）
（1）判断方程g（x）=0的零点个数；
（2）解关于x的不等式g（x）＞0，并用程序框图表示你的求解过程．

Answer 1

分析：（1）先f′（x）从而得到g（x），再由判别式确定零点的个数．
（2）将不等式g（x）＞0转化为（x-a）（x-1）＞0按a分类讨论求解．

解答：解：（1）∵f′（x）=x²-（a+1）x+a
∴g（x）=x²-（a+1）x+a（1分）
∵△=（a+1）²-4a=（a-1）²
∴当a=1时，方程g（x）=0有一个零点；
当a≠1时，方程g（x）=0有两个零点；（3分）
（2）将不等式g（x）＞0化为（x-a）（x-1）＞05
当a＞1时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜1}（6分）
当a＜1时，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜a}（7分）
当a=1时，原不等式的解集为{x∈R|x≠1}（8分）
求解过程的程序框图如图：（12分）

点评：本题主要渗透导数来考查方程根的问题和不等式的解法，要注意分类讨论．