Question

6．已知点P（2，2），圆C：x²+y²-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
（3）在（2）的条件下过圆C：x²+y²-8y=0和l交点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由$\overrightarrow{CM}$与$\overrightarrow{MP}$数量积等于0列式得M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案；
（3）将直线与圆方程联立组成方程组，求出方程组的解得到两交点A与B的坐标，当圆面积最小时，弦AB为直径，利用两点间的距离公式求出|AB|的长，即为圆的直径，确定出圆的半径，利用线段中点坐标公式求出线段AB的中点坐标，即为圆心坐标，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．

解答 解：（1）圆C的方程可化为x²+（y-4）²=16，
所以圆心为C（0，4），半径为4．
设M（x，y），则$\overrightarrow{CM}$=（x，y-4），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y）．
由题设知$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{MP}$=0，故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）²+（y-3）²=2．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是（x-1）²+（y-3）²=2．
（2）由（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．
由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为-$\frac{1}{3}$，
故l的方程为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$．
又|OM|=|OP|=2 $\sqrt{2}$，O到直线l的距离为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
故|PM|=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，所以△POM的面积为$\frac{16}{5}$．
（3）联立y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$与圆C：x²+y²-8y=0
得：5y²-28y+32=0，
解得：y₁=4，y₂=$\frac{8}{5}$，
当弦AB为直径时，圆面积最小，
则所求圆的直径为2R=|AB|=$\sqrt{1+9}•|4-\frac{8}{5}|$=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
圆心为AB中点C（-$\frac{2}{5}$，$\frac{14}{5}$），
则所求面积最小的圆的方程是（x+$\frac{2}{5}$）²+（y-$\frac{14}{5}$）²=$\frac{72}{5}$．

点评 本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．