Question

【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空军能力与性别有关？

（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．

附表及公式

	0．15	0．10	0．05	0．025	0．010	0．005	0．001
	2．072	2．706	3．841	5．024	6．635	7．879	10．828

Answer 1

【答案】（I）有的把握认为视觉和空军能力与性别有关；（II）；（III）分布列见解析，.

【解析】试题分析：（I）代入公式，计算，所以有的把握认为有关；（II）将问题转化为线性规划的为题，两者解题事件满足可行域，且满足“”其中甲、乙解答一道几何题的时间分别为、分钟.画出可行域，利用几何概型的知识可求得概率为；（III）基本事件的总数为种，分别求出甲、乙两人没有一个人被抽到；恰有一人被抽到、两人都被抽到的概率，由此得到分布列和数学期望.

试题解析：

（Ⅰ）由表中数据得的观测值

所以根据统计有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．

（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为、分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）

设事件为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为

由几何概型即乙比甲先解答完的概率为

（Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种

可能取值为0，1，2，，

，

的分布列为：

．

	0	1	2