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    【题目】已知向量，，

    （1）求函数的最小正周期及取得最大值时对应的x的值；

    （2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，若,求三角形ABC面积的最大值并说明此时该三角形的形状.

    【答案】(1)最小正周期为π，最大值为， (2) ，等边三角形

    【解析】试题分析：（1）先利用诱导公式化简的坐标，再利用平面向量的数量积、二倍角公式及配角公式化简表达式 ，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用求出角，再利用余弦公式、基本不等式和三角形的面积公式进行求解.

    试题解析：（1）由已知得，又

    于是

    ∴ 的最小正周期为；

    当，即 ，的最大值为.

    （2）锐角三角形中，由（1）得

    ∴ ，∴

    由余弦定理知 ∴

    即 (当且仅当时取得等号成立) ∴,

    ∴当三角形为等边三角形时面积取得最大值为.

    练习册系列答案
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    【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， ，侧面底面， ， ， ， 分别为， 的中点，点在线段上．

    （1）求证： 平面；

    （2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．

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    【题目】已知函数.

    （Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；

    （Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据： ， ）

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    （1）求、的值；

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    【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）


    几何题

    代数题

    总计

    男同学

    22

    8

    30

    女同学

    8

    12

    20

    总计

    30

    20

    50

    （Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空军能力与性别有关？

    （Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．

    （Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．

    附表及公式


    0．15

    0．10

    0．05

    0．025

    0．010

    0．005

    0．001


    2．072

    2．706

    3．841

    5．024

    6．635

    7．879

    10．828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】围建一个面积为360的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元）

    （1）将表示为的函数；

    （2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.

    表1：甲套设备的样本的频数分布表

    质量指标值

    [95,100)

    [100,105)

    [105,110)

    [110,115)

    [115,120)

    [120,125]

    频数

    1

    5

    18

    19

    6

    1

    图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

    （Ⅰ）将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；

    （Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

    甲套设备

    乙套设备

    合计

    合格品

    不合格品

    合计

    （Ⅲ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较.

    附：

    .

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    【题目】已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：

    ①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；

    ②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；

    ③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；

    ④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.

    其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.

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