【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,证明:函数
在
上单调递减;
(Ⅱ)是否存在实数,使得函数
在
内存在两个极值点?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,请说明理由. (参考数据:
,
)
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(I);求导得,只需利用导数研究函数
的单调性,求出最大值,从而证明
即可得结论;(II)讨论
时,
时两种情况,分别利用导数研究函数的单调性,排除不合题意的情况,从而可得使得函数
在
内存在两个极值点的实数
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域是
.
求导得.
设,则
与
同号.
所以,若
,则
对任意
恒成立.
所以函数在
上单调递减.
又,
所以当时,满足
.即当
时,满足
.
所以函数在
上单调递减.
(Ⅱ)①当时,函数
在
上单调递减.
由,又
,
时,
,
取,则
,
所以一定存在某个实数,使得
.
故在上,
;在
上,
.
即在上,
;在
上,
.
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减.此时函数
只有1个极值点
,不合题意,舍去;
②当时,令
,得
;令
,得
,
所以函数在
上单调递减,在
上单调递增.
故函数的单调情况如下表:
0 | + | ||
极小值 |
要使函数在
内存在两个极值点,则需满足
,即
,
解得又
,
,
所以.
此时, ,
又,
;
综上,存在实数,使得函数
在
内存在两个极值点.
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【题目】【选修4—4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
为直线的倾斜角). 以平面直角坐标系
的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系. 圆C的极坐标方程为
,设直线l与圆C交于
两点.
(Ⅰ)求角的取值范围;
(Ⅱ)若点的坐标为
,求
的取值范围.
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【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系,已知曲线
(
为参数),在以
原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
。
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)过点且与直线
平行的直线
交
于
,
两点,求点
到
,
的距离之积。
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【题目】已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线
与椭圆
相交于
两点,点
关于原点的对称点为
,若点
总在以线段
为直径的圆内,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= -lnx-
.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求证:lnx≥-
(Ⅲ)判断曲线y=f(x)是否位于x轴下方,并说明理由.
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【题目】已知向量,
,
(1)求函数的最小正周期及
取得最大值时对应的x的值;
(2)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,若,求三角形ABC面积的最大值并说明此时该三角形的形状.
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【题目】对于定义域为R的函数f(x),若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均有零点,则称函数f(x)为“含界点函数”,则下列四个函数中,不是“含界点函数”的是( )
A. f(x)=x2+bx-1(b∈R) B. f(x)=2-|x-1|
C. f(x)=2x-x2 D. f(x)=x-sin x
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