【题目】已知函数f(x)= -lnx-
.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求证:lnx≥-
(Ⅲ)判断曲线y=f(x)是否位于x轴下方,并说明理由.
【答案】(Ⅰ)(-1)x-y-
+1=0;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)函数求导得切线斜率为f’(1)= -1,再利用直线的点斜式求解即可;
(Ⅱ)要证明lnx≥-,(x>0)”等价于“xlnx≥-
”,设函数g(x)=xlnx,求导结合单调性得g(
)
即可证得;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知lnx≥,所以f(x)≤
-
(
),求导结合单调性得k(x)≤k(1)=0恒成立,即可证得.
试题解析:
函数的定义域为(0,+∞),
f’(x)=- -
+
(Ⅰ)f’(1)= -1,又f(1)=-
曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为
y+=(
-1)x-
+1.
即(-1)x-y-
+1=0.
(Ⅱ)“要证明lnx≥-,(x>0)”等价于“xlnx≥
设函数g(x)=xlnx.
令g’(x)=1+lnx=0,解得.
x | (0, | ( | |
g(x) | - | 0 | + |
g(x) | 递减 | 递增 |
因此,函数g(x)的最小值为g()=-
,故xlnx≥
.
即lnx≥.
(Ⅲ)曲线y=f(x)位于x轴下方.理由如下:
由(Ⅱ)可知lnx≥,所以f(x)≤
-
=
(
).
设k(x)= ,则k’(x)=
令k’(x)>0得0<x<1;令k’(x)<0得x>1.
所以k(x)在(0,1)上为增函数,(1,+∞)上为减函数.
所以当x>0时,k(x)≤k(1)=0恒成立,当且仅当x=1时,k(1)=0.
又因为f(1)=- <0,所以f(x)<0恒成立.
故曲线y=f(x)位于x轴下方.
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数的零点个数.
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【题目】将集合M={1,2,3,...,15}表示为它的5个三元子集(三元集:含三个元素的集合)的并集,并且这些三元子集的元素之和都相等,则每个三元集的元素之和为________;请写出满足上述条件的集合M的5个三元子集__________(只写出一组)
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,证明:函数
在
上单调递减;
(Ⅱ)是否存在实数,使得函数
在
内存在两个极值点?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,请说明理由. (参考数据:
,
)
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【题目】围建一个面积为360的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为
(单位:
),修建此矩形场地围墙的总费用为
(单位:元)
(1)将表示为
的函数;
(2)试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
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【题目】如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.
(1)求证:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.
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