【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线方程为
。
(1)求、
的值;
(2)如果当,且
时,
,求
的取值范围。
【答案】(1),
(2)(-
,0]
【解析】(1)
由于直线的斜率为
,且过点
,故
即
解得,
。
(2)由(1)知,所以
。
考虑函数
,则
。
(i)设,由
知,当
时,
,h(x)递减。而
故当
时,
,可得
;
当x(1,+
)时,h(x)<0,可得
h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(
+
)>0,即f(x)>
+
.
(ii)设0<k<1.由于=
的图像开口向下,且
,对称轴x=
.当x
(1,
)时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故
(x)>0,而h(1)=0,故当x
(1,
)时,h(x)>0,可得
h(x)<0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时
,
(x)>0,而h(1)=0,故当x
(1,+
)时,h(x)>0,可得
h(x)<0,与题设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-,0]
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【题目】已知椭圆(
)的离心率为
,点
在椭圆
上,直线
过椭圆的右焦点
且与椭圆相交于
两点.
(1)求的方程;
(2)在轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,求出定点
的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本(元)与月垃圾处理量
(吨)之间的函数关系可近似地表示为
,求该站每月垃圾处理量为多少吨时,才能使每吨垃圾的平均处理成本最低?最低平均处理成本是多少?
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【题目】已知函数f(x)= -lnx-
.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求证:lnx≥-
(Ⅲ)判断曲线y=f(x)是否位于x轴下方,并说明理由.
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【题目】已知向量,
,
(1)求函数的最小正周期及
取得最大值时对应的x的值;
(2)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,若,求三角形ABC面积的最大值并说明此时该三角形的形状.
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【题目】设函数.
(1)若对定义域内的任意,都有
成立,求实数
的值;
(2)若函数的定义域上是单调函数,求实数
的取值范围;
(3)若,证明对任意的正整数
,
.
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【题目】如图,在几何体中,四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD的交点为O,四边形DCEF为梯形,EF∥DC,FD=FB.
(Ⅰ)若DC=2EF,求证:OE∥平面ADF;
(Ⅱ)求证:平面AFC⊥平面ABCD;
(Ⅲ)若AB=FB=2,AF=3,∠BCD=60°,求AF与平面ABCD所成角.
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【题目】函数f(x)=x3-kx,其中实数k为常数.
(1)当k=4时,求函数的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=k只有一个交点,求实数k的取值范围.
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