Question

正实数数列{a_n}中,a₁=1,a₂=5,且{}成等差数列.
(1)证明:数列{a_n}中有无穷多项为无理数;
(2)当n为何值时,a_n为整数?并求出使a_n<200的所有整数项的和.

Answer 1

（1）见解析  （2）当n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N^*)时,a_n为整数，6733

(1)证明:由已知有:=1+24(n-1),
从而a_n=.
取n-1=24^2k-1,则a_n=(k∈N^*).
用反证法证明这些a_n都是无理数.
假设a_n=为有理数,则a_n必为正整数,
且a_n>24^k,故a_n-24^k≥1,a_n+24^k>1,与(a_n-24^k)(a_n+24^k)=1矛盾,
所以a_n=(k∈N^*)都是无理数,
即数列{a_n}中有无穷多项为无理数.
(2)解:要使a_n为整数,由(a_n-1)(a_n+1)=24(n-1)可知:a_n-1,a_n+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,
所以有a_n-1=6m或a_n+1=6m.
当a_n=6m+1时,有=36m²+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N).
又m(3m+1)必为偶数,
所以a_n=6m+1(m∈N)满足=1+24(n-1),
即n=+1(m∈N)时,a_n为整数;
同理a_n=6m-1(m∈N^*)时,有=36m²-12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N^*)也满足=1+24(n-1),
即n=+1(m∈N^*)时,a_n为整数;
显然a_n=6m-1(m∈N^*)和a_n=6m+1(m∈N)是数列中的不同项,
所以当n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N^*)时,a_n为整数.
由a_n=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,
由a_n=6m-1<200(m∈N^*)有1≤m≤33.
设a_n中满足a_n<200的所有整数项的和为S,
则S=(1+7+13+…+199)+(5+11+…+197)= ×34+×33=6733.