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已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=sinx-cosx,求:
(1)f(x)在R上的解析式.
(2)当x>0时,解不等式f(x)>0.
分析:(1)根据函数是奇函数,即可求f(x)在R上的解析式.
(2)根据三角函数的性质即可解不等式f(x)>0.
解答:解:(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,
当x<0,则-x>0,
∵x>0时,f(x)=sinx-cosx,
∴f(-x)=-sinx-cosx,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-sinx-cosx=-f(x),
即f(x)=sinx+cosx,x<0.
故函数的解析式为:f(x)=
sinx-cosx,x>0
0,x=0
sinx+cosx,x<0

(2)当x>0时,不等式f(x)>0,等价为f(x)=sinx-cosx>0,
即sinx>cosx,
由三角函数图象可知2kπ+
π
4
<x<2kπ+
4
,k≥0且k∈Z.
即不等式的解集为(2kπ+
π
4
,2kπ+
5
4
π),k≥0且k∈Z
点评:本题主要考查函数奇偶性的性质的应用以及不等式的解法,考查学生的运算能力.
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)证明函数a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函数;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
对所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求实数x=1的取值范围.

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系
a>b>c
a>b>c

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