Question

已知函数f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2处取得极值．
（1）求f（x）的表达式和极值．
（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=6x²+2ax+b
∴即
解得

∴f（x）=2x³-3x²-12x+3
f′（x）=6x²-6x-12
f′（x）＞0解得x＜-1或x＞2
由f′（x）＜0解得-1＜x＜2
故函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）递增，函数在（-1，2）递减
所以当x=-1时，有极大值10；当x=2时，有极小值-17
（2）由（1）知，若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，需
m+4≤-1或或m≥2
所以m≤-5或m≥2
分析：（1）求出导函数，利用导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b，代入f（x）和f′（x）；令f′（x）＞0求出x的范围即为递增区间，令f′（x）＜0求出x的范围为递减区间，并利用极值的定义求出极值．
（2）根据题意，令[m，m+4]在（-∞，-1）内或在（2，+∞）内或在（-1，2）内，列出不等式组，求出m的范围．
点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查极值的求法、考查函数在其单调区间的子集上都是单调的．