Question

14．已知i是虚数单位，且复数z满足（z-3）（2-i）=5．
（Ⅰ）求z及|z-2+3i|；
（Ⅱ）若z•（a+i）是纯虚数，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据复数的代数运算法则，进行化简运算，再求模长；
（Ⅱ）根据复数的代数运算法则，进行化简，再由纯虚数的定义，列出方程求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵（z-3）（2-i）=5，
∴z=$\frac{5}{2-i}$+3=$\frac{5（2+i）}{（2-i）（2+i）}$+3=（2+i）+3=5+i       …（4分）
∴|z-2+3i|=|3+4i|=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5；       …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=5+i，
∴z•（a+i）=（5+i）（a+i）=（5a-1）+（a+5）i；  …（10分）
又z•（a+i）是纯虚数，
∴5a-1=0且a+5≠0；
解得$a=\frac{1}{5}$．     …（12分）

点评 本题考查了复数的概念与代数形式的运算问题，是基础题目．