Question

6．证明不等式：
（1）a²+b²≥ab+a+b-1；
（2）若a＞0，b＞0，则$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵a²+b²≥2ab，a²+1≥2a，b²+1≥2ab，
三式相加，可得2a²+2b²≥2ab+2a+2b-2，
∴a²+b²≥ab+a+b-1；            …（5分）
（2）∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0且 a²+b²≥2ab         …（6分）
∴2（a²+b²）≥（a+b）²       
∴$\frac{1}{2}$（a²+b²）≥$\frac{1}{4}$（a+b）² （当且仅当a=b时等号成立）  …（9分）
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$ …（10分）

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．