Question

15．已知α是第三象限角，且sinα=-$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求tanα与tan（α-$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）求cos2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，求得tanα与tan（α-$\frac{π}{4}$）的值．
（Ⅱ）由条件利用二倍角公式，求得cos2α的值．

解答 解：（Ⅰ）因为α是第三象限角，sinα=-$\frac{3}{5}$，∴cosα＜0．
又因为sin²α+cos²α=1，所以$cosα=-\sqrt{1-{{sin}^2}α}$=$-\sqrt{1-{{（{-\frac{3}{5}}）}^2}}=-\frac{4}{5}$．
故$tanα=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{{-\frac{3}{5}}}{{-\frac{4}{5}}}=\frac{3}{4}$，∴$tan（{α-\frac{π}{4}}）=\frac{{tanα-tan\frac{π}{4}}}{{1+tanαtan\frac{π}{4}}}$=$\frac{{\frac{3}{4}-1}}{{1+\frac{3}{4}×1}}=-\frac{1}{7}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$sinα=-\frac{3}{5}$，$cosα=-\frac{4}{5}$，
所以，cos2α=cos²α-sin²α=${（{-\frac{4}{5}}）^2}-{（{-\frac{3}{5}}）^2}=\frac{7}{25}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式、二倍角公式的应用，属于基础题．