Question

20．在平行四边形ABCD中，点F为线段CD上靠近点D的一个三等分点．若$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{n}$．则$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$，可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$．代入$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$即可得出．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{n}$．
则$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$，
∴$\overrightarrow{m}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$，$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$．
则$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{m}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$．
故选：B．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量的平行四边形法则、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．