Question

如图所示,已知抛物线E:y²=x与圆M:(x-4)²+y²=r²(r>0)相交于A、B、C、D四个点.

(1)求r的取值范围;
(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.

Answer 1

（1）（,4）  （2）（,0）

解:(1)将y²=x代入(x-4)²+y²=r²,
并化简得x²-7x+16-r²=0,①
E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x₁,x₂,
由此得
解得<r²<16.
又r>0,
所以r的取值范围是（,4）.
(2)不妨设E与M的四个交点的坐标为:
A(x₁,)、B(x₁,-)、C(x₂,-)、D(x₂,).
则直线AC、BD的方程分别为
y-=·(x-x₁),
y+=(x-x₁),
解得点P的坐标为(,0).
设t=,
由t=及(1)知0<t<.
由于四边形ABCD为等腰梯形,
因而其面积S=(2+2)·|x₂-x₁|.
则S²=(x₁+x₂+2)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂].
将x₁+x₂=7,=t代入上式,
并令f(t)=S²,
得f(t)=(7+2t)²·(7-2t)（0<t<）.
求导数,f′(t)=-2(2t+7)(6t-7),
令f′(t)=0得t=,t=-(舍去),
当0<t<时,f′(t)>0;
当<t<时,f′(t)<0.
故当且仅当t=时,f(t)有最大值,
即四边形ABCD的面积最大.
故所求的点P的坐标为（,0）.