Question

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（　　）

• A、4

  3

  π
• B、12π
• C、2

  3

  π
• D、4

  2

  π

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积

专题：空间位置关系与距离

分析：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图可证球心在平面SAC，AC的垂直平分线上，设出球心，利用勾股定理求出球的半径，代入球的体积公式计算．

解答： 解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，
底面为等腰直角三角形，如图：

∵△ABC为等腰直角三角形，D为AC的中点，平面SAC⊥平面ABC，
在平面SAC中，过D作DH⊥AC，
∴外接球的球心在DH上，设球心为O，则OA=OB=OC=OS，
设OD=x，则2+x²=2+（2-x）²=x=1，
外接球的半径R=

3

，∴外接球的体积V=

4

3

π×(

3

)3=4

3

π，
故选：A．

点评：本题考查了由三视图求几何体的外接球的体积，考查了学生的作图与空间想象能力，根据三视图判断几何体的性质是关键．