Question

【题目】已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）= ，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+ =0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是

Answer 1

【答案】（ ， ）
【解析】解：当0≤x≤2时，y=﹣ x2递减，当x＞2时，y=﹣（ ）x﹣ 递增，
由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，
则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递减，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递增，
当x=0时，函数取得极大值0；
当x=±2时，取得极小值﹣1．
当0≤x≤2时，y=﹣ x2∈[﹣1，0]．
当x＞2时，y=﹣（ ）x﹣ ∈[﹣1，﹣ ）
要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+ =0，a∈R，
有且仅有8个不同实数根，
设t=f（x），则t2+at+ =0的两根均在（﹣1，﹣ ）．
则有 ，即为 ，
解得 ＜a＜ ．
即有实数a的取值范围是（ ， ）．
所以答案是：（ ， ）．

【考点精析】关于本题考查的函数奇偶性的性质和函数的零点与方程根的关系，需要了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；二次函数的零点：（1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点才能得出正确答案．