Question

【题目】已知函数 的值域为集合A，关于x的不等式 的解集为B，集合 ，集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0）
（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；
（2）若DC，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）在[ ，4]上，单调递增，

∵f（ ）= =﹣2，f（4）=log44=1，

所以，A=[﹣2 1]．

又由关于x的不等式 可得 （2）﹣3x﹣a＞2x，﹣3x﹣a＞x x＜﹣ ，

所以，B=（﹣∞，﹣ ）．

又A∪B=B，∴AB．

所以，﹣ ＞1，a＜﹣4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4）

（2）解：因为 ，所以有 ，所以﹣1＜x≤5，所以，C=（﹣1，5]，

对于集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0），若DC，有：

①当 m+1≥2m﹣1时，即 0＜m≤2时，D=，满足 DC．

②当 m+1＜2m﹣1 时，即 m＞2时，D≠，所以有： ，解得﹣2＜m≤3，又 m＞2，2＜m≤3．

综上：由①②可得：实m的取值范围为（0，3]

【解析】（1）利用对数函数的单调性求对数函数的值域A，解指数不等式求出B，再根据AB可得﹣ ＞1，由此求得实数a的取值范围．（2）解分式不等式 求得C，对于集合D={x|m+1≤x＜2m﹣1}（m＞0），由DC，分D=和 D≠两种情况，分别求出实m的取值范围，再取并集，即得所求．